Question

11．已知數列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，S_n是該數列的前n項和，若S_n能寫成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，則稱S_n為“指數型和”．則{S_n}中是“指數型和”的項的序號和為3．

Answer 1

分析 由數列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，當n=1時，S₁=a₁=3．S₂=5，S₃=9=3²．當n≥4時，C_n=3+2+4+…+2^n-1=2ⁿ+1，C₁=3，所以對正整數n都有C_n=2ⁿ+1．由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．對p分類討論即可得出．

解答 解：由數列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，當n=1時，S₁=a₁=3．
S₂=3+2=5，S₃=3+2+2²=9=3²．
當n≥4時，C_n=3+2+4+…+2^n-1=2ⁿ+1，C₁=3，
所以對正整數n都有C_n=2ⁿ+1．
由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．
①當p為偶數時，t^p-1=$（{t}^{\frac{p}{2}}+1）（{t}^{\frac{p}{2}}-1）$=2ⁿ，
因為t^p+1和t^p-1都是大于1的正整數，
所以存在正整數g，h，使得t^p+1=2^g，${t}^{\frac{p}{2}}$-1=2^h，2^g-2^h=2，2^h（2^g-h-1）=2，
所以2^h=2且2^g-h-1=1⇒h=1，g=2，相應的n=3，即有C₃=3²，C₃為“指數型和”；
②當p為奇數時，t^p-1=（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1），
由于1+t+t²+…+t^p-1是p個奇數之和，仍為奇數，又t-1為正偶數，
所以（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1）=2ⁿ不成立，此時沒有“指數型和”．
綜上可得：只有n=3時，滿足條件．
故答案為：3．

點評 本題考查了新定義“指數型和”、等比數列的求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．