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6.已知等差數(shù)列{an}的公差d>1,前10項(xiàng)和S10=100,{bn}為等比數(shù)列,公比為q,且q=d,b1=a1,b2=2
(1)求an和bn
(2)設(shè)${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)由S10=100,可得10a1+$\frac{10×9}{2}$d=100,2a1+9d=20.由{bn}為等比數(shù)列,公比為q,且q=d,b1=a1,b2=2,∴a1d=2,解得a1,d.
(2)${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)∵S10=100,∴10a1+$\frac{10×9}{2}$d=100,∴2a1+9d=20.
∵{bn}為等比數(shù)列,公比為q,且q=d,b1=a1,b2=2,∴a1d=2,
解得a1=1,d=2.∴an=2n-1.
∴b1=1,q=2,bn=2n-1
(2)${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$.
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$.
∴Tn=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.p∧q為真B.p∨q為假C.p∧(¬p)為真D.(¬p)∨q為真

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①“若 xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題;
②“若m>2,則不等式x2-2x+m>0的解集為R”;
③若F1、F2是定點(diǎn),|F1F2|=7,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=7,則M的軌跡是橢圓;
④若{a,b,c}為空間的一組基底,則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間的另一組基底;
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4

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11.已知數(shù)列an=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3,n=1}\\{{2^{n-1}},n≥2}\end{array}$,Sn是該數(shù)列的前n項(xiàng)和,若Sn能寫成tp(t,p∈N*且t>1,p>1)的形式,則稱Sn為“指數(shù)型和”.則{Sn}中是“指數(shù)型和”的項(xiàng)的序號(hào)和為3.

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A.20($\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$)海里/時(shí)B.20($\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$)海里/時(shí)C.20($\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$)海里/時(shí)D.20($\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$)海里/時(shí)

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A.3B.4C.5D.6

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