Question

11．已知數列{a_n}的前n項積為T_n，即T_n=a₁a₂…a_n．
（1）若數列{a_n}為首項為2016，公比為$q=-\frac{1}{2}$的等比數列，
①求T_n的表達式；②當n為何值時，T_n取得最大值；
（2）當n∈N^*時，數列{a_n}都有a_n＞0且${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$成立，求證：{a_n}為等比數列．

Answer 1

分析 （1）①由題意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，由此能求出T_n的表達式．
②記b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，從而當n≤10，n∈N^*時，R_n+1＞R_n；當n≥11，n∈N^*時，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值為R₁₁，進而（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．由此能求出結果．
（2）推導出${a_2}^2={a_1}{a_3}$，從而$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，能證明{a_n}為等比數列．

解答 解：（1）①由題意知${a_n}=2016{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
所以${T_n}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{0+1+…+（n-1）}}={2016^n}{（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．…（3分）
②記b_n=|a_n|，R_n=|T_n|，即${b_n}=2016{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，${R_n}={2016^n}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}=2016×{（\frac{1}{2}）^n}$，
當n≤10，n∈N^*時，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＞1$；當n≥11，n∈N^*時，$\frac{{{R_{n+1}}}}{R_n}＜1$，
又因為?n∈N^*，R_n＞0，所以，當n≤10，n∈N^*時，R_n+1＞R_n；
當n≥11，n∈N^*時，R_n+1＜R_n，所以R_n的最大值為R₁₁．…（6分）
此時${T_{11}}={2016^{11}}{（-\frac{1}{2}）^{55}}＜0$，而T₉＞0，T₁₀＜0，T₁₂＞0，
所以（T_n）_max=max{T₉，T₁₂}．
而$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{12}}{a_{11}}{a_{10}}={（{a_{11}}）^3}=（2016×{（-\frac{1}{2}）^{10}}）＞1$，
所以，當n=12時，T_n取得最大值．…（9分）
（2）當n=2時，${a_1}^2{a_2}^2{a_3}=（{a_1}{a_2}）{（{a_1}{a_3}）^{\frac{3}{2}}}$，
所以${a_2}=\sqrt{{a_1}{a_3}}$，即${a_2}^2={a_1}{a_3}$，…（10分）
已知${T_n}•{T_{n+1}}={（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}{（{a_1}{a_{n+1}}）^{\frac{n+1}{2}}}$①
當n≥2時，${T_{n-1}}•{T_n}={（{a_1}{a_{n-1}}）^{\frac{n-1}{2}}}{（{a_1}{a_n}）^{\frac{n}{2}}}$②
①②兩式相除得${（{a_n}a{\;}_{n+1}）^2}=\frac{{{a_1}^2a_{n+1}^{n+1}}}{{a_{n-1}^{n-1}}}$，化簡得$a_n^2a_{n-1}^{n-1}=a_1^2a_{n+1}^{n-1}$，③
又因為$a_{n+1}^2a_n^n=a_1^2a_{n+2}^n$，④
③④兩式相除得$a_{n+1}^{n+1}a_n^{n-2}=a_{n+2}^na_{n-1}^{n-1}$，⑤…（12分）
⑤式可化為：${（\frac{{{a_{n+2}}{a_n}}}{{a_{n+1}^2}}）^n}{（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}=1$，n≥2
令${c_n}={（\frac{{{a_{n+1}}{a_{n-1}}}}{a_n^2}）^{n-1}}$，所以c₁=1，c_n+1•c_n=1，所以${c_n}=1，?n∈{N^*}$，
即${a_{n+1}}{a_{n-1}}=a_n^2$，?n≥2，n∈N^*都成立，
所以{a_n}為等比數列．…（16分）

點評 本題考查數列的前n項和公式的求法，考查數列的前n項取最大值時項數n的求法，考查等比數列的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列性質的合理運用．