Question

若函數f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域為[0，+∞），則a=

1

．

Answer 1

分析：依題意，對x的范圍分x∈（0，1）與x∈（1，+∞）討論，利用韋達定理列出關于a的關系式，解之即可．

解答：解：令g（x）=2x²-a²x-a，
∵f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的定義域為（0，+∞），
①當x∈（0，1）時，lgx＜0，要使函數f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域為[0，+∞），
則

g(0)=-a≤0 g(1)=2-a2-a≤0

解得a≥1；
②當x＞1，lgx＞0，g（x）=2x²-a²x-a的對稱軸為x=

a2

4

，要使函數f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域為[0，+∞），
則

g(1)≥0 a2 4 ≤1

，即

2-a2-a≥0 a2≤4

，解得-2≤a≤1；
③當x=1時，f（x）=0，滿足題意，a∈R；
綜合①②③知，要使函數f（x）=（2x²-a²x-a）lgx的值域為[0，+∞），即a應使①②③式均成立，則a=1．
故答案為：1．

點評：本題考查對數函數的值域與最值，考查二次函數的性質，考查分類討論思想與方程思想，屬于難題．