Question

已知函數f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若函數f（x）在（2，3）內單調，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在（2，3）內恒有f（x）＜0，求實數a的取值范圍；
（3）若當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題可知f（x）的對稱軸為x=a，根據單調性的定義，結合圖象得出a≥3，或a≤2
（2）f（x）=x²-2ax+2圖象開口向上，函數f（x）在（2，3）內恒有f（x）＜0，只需

f(2)≤0 f(3)≤0

（3）當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，利用二次函數圖象與性質求最小值，解相應的不等式．

解答：解：（1）由題可知f（x）的對稱軸為x=a，
∵f（x）在（2，3）內單調，
∴a的取值范圍是（-∞，2]∪[3，+∞）．
（2）由題意得

f(2)≤0 f(3)≤0

，即

4-4a+2≤0 9-6a+2≤0

，
解得a≥

11

6

．
∴a的取值范圍是[

11

6

，+∞）
（3）解法一：f≥（x）=（x-a）²+2-a²，此二次函數圖象的對稱軸為x=a．
①當a∈（-∞，-1）時，f（x）在[-1，+∞）上單調遞增，f（x）_min=f（-1）=2a+3．要使f（x）≥a恒成立，只需2a+3≥a，解得-3≤a＜-1．
②當a∈[-1，+∞）時，f（x）min=f（a）=2-a²，要使f（x）≥a恒成立，只需2-a²，≥a，解得-1≤a≤1．
綜上所述，a的取值范圍為-3≤a＜-1或-1≤a≤1，
即a的取值范圍為[-3，1]．
解法二：令g（x）=x²-2ax+2-a，由已知，得x²-2ax+2-a≥0在[-1，+∞）上恒成立，
則①△=4a²-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1，
或②

△＞0 a＜-1 g(-1)≥0

，解得-3≤a≤1．
綜上所述，a的取值范圍為-2≤a≤1或-3≤a≤1，
即a的取值范圍為[-3，1]．

點評：本題主要考查二次函數圖象與性質：單調性，最值，用到了數形結合的思想、分類討論的方法．