Question

17．設函數f（x）=e^x-alnx，g（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-e^x．
（1）設函數h（x）=f（x）+g（x），求函數h（x）單調區間；
（2）若a=1，求證：f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，通過a的范圍，判斷函數的單調性．
（2）當a=1時求出函數的導數，構造函數$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，通過函數的導數，判斷函數的單調性求出函數的最小值，推出結果．

解答 解：（1）$h（x）=f（x）+g（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$，定義域為（0，+∞），
所以$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}$，
因為x+1＞0，則令x-1-a=0，得x=1+a，
若1+a≤0，即a≤-1，則h'（x）＞0，則h（x）在（0，+∞）上為增函數；
若1+a＞0，即a＞-1時，x∈（0，1+a），h'（x）＜0；
x∈（1+a，+∞），h'（x）＞0，則h（x）在（0，1+a）上為減函數，在（1+a，+∞）上為增函數．
綜上所述，a≤-1時，h（x）的增區間為（0，+∞）；
a＞-1時，h（x）的減區間為（0，1+a），增區間為（1+a，+∞）．
（2）證明：當a=1時，f（x）=e^x-lnx（x＞0），
則$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，令$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$m'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}$＞0，
所以f'（x）=m（x）在（0，+∞）上單調遞增，
而$f'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，f'（1）=e-1＞0
所以存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，且lnx₀=-x₀，
所以f（x）在（0，x₀）上單調遞增，（x₀，+∞）上單調遞減，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}+{x_0}＞2$，
所以若a=1時，f（x）＞2．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值的求法，考查構造法以及轉化思想，分類討論思想的應用，考查計算能力．