Question

14．已知函數f（x）在[2，+∞）單調遞增，且對任意實數x恒有f（2+x）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），則x的取值范圍是（-2，0）．

Answer 1

分析 由題意可得函數的圖象關于直線x=2對稱，函數f（x）在[2，+∞）單調遞增，f（x）在（-∞，2）上單調第減，由不等式可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，化簡求得x的取值范圍．

解答 解：∵對任意實數x恒有f（2+x）=f（2-x），
故函數的圖象關于直線x=2對稱，
∵函數f（x）在[2，+∞）單調遞增，∴f（x）在（-∞，2）上單調遞減，
故由f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，
即2x²+1＜x²-2x+1，即 x²+2x＜0，求得-2＜x＜0，
故答案為：（-2，0）．

點評 本題主要考查函數的圖象的對稱性和單調性的綜合應用，屬于中檔題．