Question

正四面體ABCD的棱長為4，E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，則截面面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體

專題：計算題,空間位置關系與距離,球

分析：根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數據算出外接球半徑R=

6

，過E點的截面到球心的最大距離為

2

，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值．

解答： 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
∵正四面體ABCD的棱長為4，
∴正方體的棱長為2

2

，
可得外接球半徑R滿足2R=2

2

•

3

，解得R=

6

E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當截面到球心O的距離最大時，
截面圓的面積達最小值，
此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，
可得截面圓的半徑為r=

R2-2

=2，得到截面圓的面積最小值為S=πr²=4π．
故答案為：4π

點評：本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質、球內接多面體和球的截面圓性質等知識，屬于中檔題．