Question

定義在R上的函數f（x）＞0時，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在R上為單調遞增函數．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,抽象函數及其應用,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）令y=0得代入可得f（x）=f（x）•f（0），從而求解f（0）=1；
（2）利用定義法，結合對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）及當x＞0時，f（x）＞1證明．

解答： 解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）•f（0）；
故f（0）=1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+x₂-x₁）
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）
=f（x₁）（1-f（x₂-x₁））
∵f（x）＞0，又∵當x＞0時，f（x）＞1；
∴f（x₁）（1-f（x₂-x₁））＜0；
故f（x₁）-f（x₂）＜0；
故f（x）在R上為單調遞增函數．

點評：本題考查了抽象函數的應用，同時考查了學生對新定義的接受能力，屬于中檔題．