Question

【題目】已知圓：關于直線：對稱的圓為．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）過點作直線與圓交于，兩點，是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形（和為對角線）中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）存在直線和.

【解析】

試題

本題考查圓方程的求法和直線與圓的位置關系。（Ⅰ）根據對稱公式求得圓的圓心即可得到結果。（Ⅱ）由得平行四邊形為矩形，故．然后分直線的斜率存在與不存在兩種情況，根據直線與圓的位置關系利用代數方法根據判斷直線是否存在即可。

試題解析：

（Ⅰ）圓化為標準方程為，

設圓心關于直線：的對稱點為，

由，解得：，

所以圓的圓心坐標為，半徑為3.

故圓的方程為．

（Ⅱ）由，得平行四邊形為矩形，

所以．

要使，必須滿足．

①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

由解得或

直線與圓的兩交點為，．

因為，

所以，

即直線：滿足條件．

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為．

由消去y整理得

．

由于點在圓內部，所以恒成立，

設，

則，，

所以

，

整理得：

解得，

所以直線的方程為

綜上可得，存在直線和，使得在平行四邊形（和為對角線）中．