Question

【題目】已知拋物線：，不過坐標原點的直線交于，兩點.

（Ⅰ）若，證明：直線過定點；

（Ⅱ）設過且與相切的直線為，過且與相切的直線為.當與交于點時，求的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題設，.

（Ⅰ）設直線的方程為，聯立方程組，得到則，再由，

所以，代入求得，即可判定直線過定點.

（Ⅱ）解法一：設直線的方程為，聯立方程組，利用，求得，

得到韋達定理，在利用斜率公式，求得直線的斜率，進而得到直線的方程；

解法二：由，則過且與相切的直線的斜率為，的斜率為，轉化為方程的兩個實根，求得的值，進而求解直線的方程；

解法三：由，則過且與相切的直線的斜率為，同理，的斜率為.

得到切線，的方程，代入點，得，，即可得到直線的方程.

試題解析：

設，.

（Ⅰ）解：顯然直線的斜率存在，設為，直線的方程為.由題意，.

由，得.

由題意，該方程的判別式，即.

則，.

因為，所以，所以，

即，即 .

所以.

所以.解得（舍去），或.

當時，，滿足式.

所以直線的方程為.直線過定點.

（Ⅱ）解法一：過點且與：相切的直線的斜率必存在，設其斜率為，則其方程為，即.

由消去并整理得.

由判別式，解得.

不妨設的斜率，則的斜率.

由韋達定理，得，即.

.所以.

同理可得.

直線的方程為 ，

即直線的方程為.

解法二：，所以過且與相切的直線的斜率為.

同理，的斜率為.

：，即：.同理：.

因為與的交點的坐標為方程組的解，

所以，且.

所以方程，即的兩個實根是，.

由，解得，.

又點，在：上，可得，.

直線的方程為 ，

即直線的方程為.

解法三：，所以過且與相切的直線的斜率為.同理，的斜率為.

所以，切線：，即.

又是拋物線上的點，所以，即.

故切線的方程為.同理切線的方程為.

又切線與切線均過點，故，.

所以切點、的坐標適合方程.所以的方程為.