Question

【題目】在含有個元素的集合中，若這個元素的一個排列（，，…，）滿足，則稱這個排列為集合的一個錯位排列（例如：對于集合，排列是的一個錯位排列；排列不是的一個錯位排列）.記集合的所有錯位排列的個數為.

（1）直接寫出，，，的值；

（2）當時，試用，表示，并說明理由；

（3）試用數學歸納法證明：為奇數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

試題（1）根據定義列錯位排列，根據錯位排列的個數得，，，的值；（2）根據定義理解，，三者關系，需先確定兩類，有兩個數恰好錯排與這兩個數不錯排，再降數處理，（3）先根據遞推關系得對任意正奇數，有均為偶數，再利用以及歸納假設得結論.

試題解析：（1），，，，

（2），理由如下：

對的元素的一個錯位排列（，，…，），若，分以下兩類：

若，這種排列是個元素的錯位排列，共有個；

若，這種錯位排列就是將，，…，，，…，排列到第到第個位置上，不在第個位置，其他元素也不在原先的位置，這種排列相當于個元素的錯位排列，共有個；

根據的不同的取值，由加法原理得到；

（3）根據（2）的遞推關系及（1）的結論，均為自然數；

當，且為奇數時，為偶數，從而為偶數，

又也是偶數，

故對任意正奇數，有均為偶數.

下面用數學歸納法證明（其中）為奇數.當時，為奇數；

假設當時，結論成立，即是奇數，則當時，，注意到為偶數，又是奇數，所以為奇數，又為奇數，所以，即結論對也成立；

根據前面所述，對任意，都有為奇數.