Question

當a為何值時，直線y=x與對數函數y=log_ax的圖象相切，求切點坐標及切點處的法線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,直線與圓

分析：設出切點，求出函數的導數，求出切線的斜率，列出方程組，解得即可得到切點，再由法線的斜率為-1，由點斜式方程，即可得到所求方程．

解答： 解：y=log_ax的導數為y′=

1

xlna

，
由于直線y=x與對數函數y=log_ax的圖象相切，
設切點坐標為（m，n），
則

1

mlna

=1，m=n，n=log_am，
解得，m=e，n=e，a=e

1

e

，
即當a=e

1

e

，直線y=x與對數函數y=log_ax的圖象相切；
切點坐標為（e，e），
切點處的法線方程為：y-e=-（x-e），即有x+y-2e=0．

點評：本題考查導數的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，考查直線方程的求法，法線的概念，考查運算能力，屬于基礎題．