Question

17．對于函數f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}}$定義域內的任意x₁，x₂且x₁≠x₂，給出下列結論：
（1）f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（2）f（x₁•x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（3）$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0
（4）f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）＞$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$
其中正確結論為：（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 根據冪函數的性質，代入分別進行判斷即可．

解答 解：（1）當x₁=1，x₂=2時，f（x₁+x₂）=f（2）=$\sqrt{2}$，f（x₁）•f（x₂）=1×1=1，∴錯誤；  
（2）f（x₁•x₂）=$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{x}_{1}}$•$\sqrt{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），∴正確．
（3）$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0，∴函數f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$為增函數，∴正確；         
（4）f（$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$）＞$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的函數為凸函數，∴正確．
故（2）（3）（4）正確．
故答案為（2）（3）（4）

點評 本題主要考查冪函數的圖象和性質，要求熟練掌握指數冪的運算，和冪函數的性質．