Question

（本小題滿分12分）
已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點．
（1）證明：；
（2）證明：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

略

   解法一：


（Ⅰ）證明：因為平面，
所以是在平面內的射影，… 2 分
由條件可知，
所以． ………………… 4 分
（Ⅱ）證明：設 的中點為，
連接，．
因為，分別是，的中點，
所以．
又=，，
所以．
所以四邊形是平行四邊形．
所以．    …………………6 分
因為平面，平面，
所以平面． …………… 8 分
（Ⅲ）如圖，設的中點為，連接，
所以．
因為底面，
所以底面．
在平面內，過點做，垂足為．
連接，則．
所以是二面角的平面角．         ………………… 10 分
因為==2，
由∽，得=．
所以==．
所以==．
二面角的余弦值是．              ………………… 12 分
解法二：
依條件可知，，兩兩垂直．
如圖，以點為原點建立空間直角坐標系．
根據條件容易求出如下各點坐標：
，，，
，，，
，．
（Ⅰ）證明：因為，
，
所以．             ………………… 2分
所以．
即．                                 ………………… 4 分
（Ⅱ）證明：因為，是平面的一個法向量，
且，所以．          ………6 分
又平面，
所以平面．                         ………………… 8 分
（Ⅲ）設是平面的法向量，
因為，，
由得解得平面的一個法向量．
由已知，平面的一個法向量為．    ………………… 10 分
設二面角的大小為， 則==．
二面角的余弦值是．                  ………………… 12 分