Question

10．已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，利用方程表示圓，即可求m的取值范圍；
（2）求出圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離，利用|MN|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，求m的值．

解答 解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∵此方程表示圓，
∴5-m＞0，即m＜5．
（2）圓的方程化為  （x-1）²+（y-2）²=5-m，圓心 C（1，2），半徑 $r=\sqrt{5-m}$，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為 $d=\frac{{|{1+2×2-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$
由于$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，則$\frac{1}{2}|{MN}|=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，有${r^2}={d^2}+{（\frac{1}{2}|{MN}|）^2}$，
∴$5-m={（\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^2}+{（\frac{2}{{\sqrt{5}}}）^2}$，得m=4．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．