Question

1．已知直線l₁過點A（-1，0），且斜率為k，直線l₂過點B（1，0），且斜率為-2k，其中k≠0，又直線l₁與l₂交于點M．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點N（$\frac{1}{2}$，1）的直線l交動點M的軌跡于C、D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設M坐標為（x，y），表示出兩直線方程，聯立消去k即可確定出M的軌跡方程；
（2）設出C與D坐標，分別代入M的軌跡方程，整理由根據N為CD中點，求出直線l斜率，即可確定出直線l方程．

解答 解：（1）設M（x，y），
∵直線l₁與l₂交于點M，
∴聯立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{y=-\frac{2}{k}（x-1）}\end{array}\right.$（k≠0），
消去k得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-2，
則動點M的軌跡方程為2x²+y²=2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的軌跡方程為2x²+y²=2（x≠±1），
設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有2x₁²+y₁²=2①，2x₂²+y₂²=2②，
①-②得：2（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵N（$\frac{1}{2}$，1）為CD的中點，
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=2，
∴直線l的斜率k=-1，
∴直線l的方程為y-1=-（x-$\frac{1}{2}$），即2x+2y-3=0．

點評 此題考查了軌跡方程，直線的點斜式方程，熟練掌握運算性質是解本題的關鍵．