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已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其導函數為f′(x),當x<0時,2f(x)+xf′(x)<0恒成立,則f(1),2014f(
2014
)
,2015f(
2015
)
在大小關系為(  )
A、2015f(
2015
)
<2014f(
2014
)
<f(1)
B、2015f(
2015
)
<f(1)<2014f(
2014
)
C、f(1)<2015f(
2015
)
<2014f(
2014
)
D、f(1)<2014f(
2014
)
<2015f(
2015
)
考點:利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的性質,導數的運算
專題:函數的性質及應用,導數的概念及應用
分析:首先利用換元法設g(x)=x2f(x),進一步利用函數的導數求出函數g(x)的單調性,再利用函數的奇偶性求出函數在對稱區間里的單調性,最后求出函數大小關系.
解答: 解:已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其導函數為f′(x),
則:設函數g(x)=x2f(x)
則:g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)
=g′(x)=x(2f(x)+xf′(x))
當x<0時,2f(x)+xf′(x)<0恒成立,
則:函數g′(x)>0
所以函數在x<0時,函數g(x)為單調遞增函數.
由于函數f(x)是定義在R上的奇函數,
則:函數g(x)=x2f(x)為奇函數.
所以:在x>0時,函數g(x)為單調遞增函數.
所以:g(
2015
>g(
2014
)>g(1)

即:2015f(
2015
)
>2014f(
2014
)>f(1)

故選:D
點評:本題考查的知識要點:利用函數的導數求函數的單調性,函數的奇偶性和函數單調性的關系.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a>0,b>0,
3
a
+
1
b
=2,求a+b-
a2+b2
的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=log2x,若數列{an}的各項使得2,f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),2n+4成等差數列,則數列{an}的前n項和Sn=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,AB=4,AC=3,∠A=60°,點H是△ABC的垂心,設存在實數λ,μ,使
AH
AB
AC
,則(  )
A、λ=
1
6
,μ=
5
9
B、λ=
2
9
,μ=
4
9
C、λ=
1
3
,μ=
5
9
D、λ=
1
6
,μ=
4
9

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科目:高中數學 來源: 題型:

用數學歸納法證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
<k+1(n∈N*),由n=k(k∈N*)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數是(  )
A、2k
B、2k-1
C、2k+1
D、2k-1

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科目:高中數學 來源: 題型:

點A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點B(1,1)是圓內一點,P,Q為圓上動點,角PBQ=90°,求線段PQ中點軌跡方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖正方形ABCD的邊長為ABCD的邊長為2
2
,四邊形BDEF是平行四邊形,BD與AC交于點G,O為GC的中點,FO=
3
,且FO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:AE∥平面BCF;
(Ⅱ)求證CF⊥平面AEF.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l1:2x-3y=0,l2:x-y-3=0,l3:3x+y-25=0,l4:y-x-5=0
(1)求過l1,l2的交點且與l3垂直的直線方程;
(2)求直線l1,l2的交點到直線l3的距離;
(3)求直線l2,l4之間的距離.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a>5,求證:
a-5
-
a-3
a-2
-
a

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