Question

7．已知函數f（x）=lnx-f′（1）x+ln$\frac{e}{2}$，g（x）=$\frac{3x}{2}$-$\frac{2}{x}$-f（x）．
（1）求f（x）的單調區間．
（2）設函數h（x）=x²-x+m，若存在x₁∈（0，1]，對任意的x₂∈[1，2]，總有g（x₁）≥h（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，即可求f′（1）的值和f（x）的單調區間；
（2）將不等式恒成立轉化為求函數的最值即可得到結論．

解答 解：（1）函數f（x）=lnx-f′（1）x+ln$\frac{e}{2}$，的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-f′（1），
令x=1，則f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-x}{2x}$
由f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0，解得x＞2，此時函數單調遞減，
故f（x）的單調增區間為（0，2），遞減區間為（2，+∞）；
（2）g（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2}{x}$-f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-lnx-ln$\frac{e}{2}$，x＞0
則g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$
而2x²-x+2=2（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，
即函數g（x）在（0，1]上單調遞增，
∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
∵h（x）在[1，2]上單調遞增，
∴h（x）_max=2+m，
由題意可知，g（x）_max≥h（x）_max，
∴ln2-1≥2+m，
∴m≤ln2-3
故實數m的取值范圍是（-∞，ln2-3]

點評 本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，以及利用導數求函數的最值．考查學生的運算能力