Question

4．已知函數f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函數f（x）的定義域并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調性，并證明；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請求出一個長度為$\frac{1}{4}$的區間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由？（注：區間（a，b）的長度=b-a）．

Answer 1

分析 （1）根據對數的定義可知負數和0沒有對數，列出關于x的不等式組，求出解集即可；要判斷函數的奇偶性即求出f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關系可得；
（2）求出函數的導數，判斷導函數的符號，從而判斷函數的單調性即可；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用對數的運算性質及對數的定義化簡得到g（x）=0，然后在（-1，1）上取幾個特殊值-$\frac{1}{2}$，0，-$\frac{1}{4}$，代入g（x）求出值判斷任意兩個乘積的正負即可知道之間是否有根．

解答 解：（1）要使函數有意義，則 $\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，
∴-1＜x＜1，故函數的定義域為（-1，1）
∵f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）f（x）在（-1，1）遞減．
理由：f′（x）=$\frac{2}{（x+1）（x-1）ln2}$，
∵x+1＞0，x-1＜0，
故f′（x）＜0，故f（x）在（-1，1）遞減；
（3）由題意知方程f（x）=x+1?log₂（1-x）-log₂（1+x）=x+1，
可化為（x+1）2^x+1+x-1=0
設g（x）=（x+1）2^x+1+x-1，x∈（-1，1）
則g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$×${2}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-1=$\frac{\sqrt{2}-3}{2}$＜0，g（0）=2-1=1＞0，
所以g（-$\frac{1}{2}$）g（0）＜0，故方程在（-$\frac{1}{2}$，0）上必有根；
又因為g（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{4}$×${2}^{\frac{3}{4}}$-$\frac{1}{4}$-1=$\frac{\root{4}{648}-\root{4}{625}}{4}$＞0，
所以g（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{4}$）＜0，故方程在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）上必有一根．
所以滿足題意的一個區間為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

點評 此題是一道綜合題，要求學生會求對數函數的定義域，會判斷函數的奇偶性，會判斷根的存在性和根的個數．在做第三問時注意會取特殊值．