Question

16．已知，焦點在x軸上的橢圓的上下頂點分別為B₂、B₁，經過點B₂的直線l與以橢圓的中心為頂點、以B₂為焦點的拋物線交于A、B兩點，直線l與橢圓交于B₂、C兩點，且|$\overrightarrow{A{B_2}}$|=2|$\overrightarrow{B{B_2}}$|．直線l₁過點B₁且垂直于y軸，線段AB的中點M到直線l₁的距離為$\frac{9}{4}$．設$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{B{B_2}}$，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A． （0，3）
• B． （-$\frac{1}{2}$，2）
• C． （-$\frac{2}{3}$，4）
• D． （-$\frac{5}{9}$，3）

Answer 1

分析 根據拋物線的性質求得丨AB丨=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，丨BB₂丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨=$\frac{3}{2}$，丨AB₂丨=$\frac{2}{3}$丨AB丨=3，丨BB₂丨=2，即可求得b的值，將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理及拋物線的焦點弦公式，即可求得m的值，求得直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，求得λ的表達式，由a的取值范圍，即可求得實數λ的取值范圍．

解答 解：如圖，由題意可知：設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
線段AB的中點M到直線l₁的距離為$\frac{9}{4}$，
∴由拋物線的定義可知：丨AB丨=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
由|$\overrightarrow{A{B_2}}$|=2|$\overrightarrow{B{B_2}}$|，
∴丨BB₂丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨=$\frac{3}{2}$，丨AB₂丨=$\frac{2}{3}$丨AB丨=3，
由三角形的相似關系求得丨BB₂丨=2，
∴2b=2，b=1，．拋物線方程為x²=4y，
設直線AB的方程為：x=m（y-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x=m（x-1）}\end{array}\right.$，代入整理得：m²y²-2（m²+2）y+m²=0，
由韋達定理可知：y_A+y_B=$\frac{2（{m}^{2}+2）}{{m}^{2}}$，
由拋物線的焦點弦公式可知：丨AB丨=y_A+y_B+p=$\frac{2（{m}^{2}+2）}{{m}^{2}}$+2=$\frac{9}{2}$，
解得：m=±2$\sqrt{2}$，
∴直線AB的方程為：x=±2$\sqrt{2}$（y-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=±2\sqrt{2}（y-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8+a²）y²-16y+8-a²=0，
由韋達定理可知：y_C+${y}_{{B}_{2}}$=$\frac{16}{8+{a}^{2}}$，
∴y_C=$\frac{16}{8+{a}^{2}}$-1=$\frac{8-{a}^{2}}{8+{a}^{2}}$，
$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{B{B_2}}$，y_B-y_C=λ（${y}_{{B}_{2}}$-y_B），
由拋物線的性質可知：y_B=丨BB₂丨-b，${y}_{{B}_{2}}$=b，
∴$\frac{1}{2}$-y_C=$\frac{1}{2}$λ，整理得：λ=$\frac{3{a}^{2}-8}{8+{a}^{2}}$=3-$\frac{32}{{a}^{2}+8}$，
由a²＞b²=1，
∴-$\frac{5}{9}$＜λ＜3，
∴實數λ的取值范圍（-$\frac{5}{9}$，3），
故選D．

點評 本題考查橢圓及拋物線的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓和拋物線的位置關系，拋物線的焦點弦公式，考查韋達定理，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于難題．