Question

15．若?x∈D，g（x）≤f（x）≤h（x），則稱函數f（x）為函數g（x）到函數h（x）在區間D上的“隨性函數”．已知函數f（x）=kx，g（x）=x²-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在區間[1，e]上的“隨性函數”，則實數k的取值范圍是[e-2，2]．

Answer 1

分析 問題轉化為k≥x-2，x∈[1，e]，即k≥e-2在x∈[1，e]恒成立以及k≤$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]恒成立，令m（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，x∈[1，e]，根據函數的單調性求出m（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：由題意得：kx≥x²-2x在x∈[1，e]恒成立，即k≥x-2，
而x∈[1，e]，故k≥e-2，
由kx≤（x+1）（lnx+1）在x∈[1，e]恒成立，
得k≤$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]恒成立，
令m（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，x∈[1，e]，
則m′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
m（x）在[1，e]遞增，
故m（x）_min=m（1）=2，
故k≤2，
綜上，k∈[e-2，2]，
故答案為：[e-2，2]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．