Question

13．設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是①②④．（寫出所有正確結論的序號）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x₀∈R，使${a^{x_0}}$，${b^{x_0}}$，${c^{x_0}}$不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為直角三角形，對于?n∈N^*，f（2n）＞0恒成立．
④若△ABC為鈍角三角形，則?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0．

Answer 1

分析 根據a，b，c是三角形的三邊長，得出f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）＞0，判斷①正確；
舉例說明a=2，b=3，c=4時構成三角形的三邊長，但a²=4，b²=9，c²=16不能構成三角形的三邊長，判斷②正確；
△ABC為直角三角形時c²=a²+b²，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，判斷③錯誤；
△ABC為鈍角三角形時a²+b²-c²＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，函數f（x）在區間（1，2）內存在零點，判斷④正確．

解答 解：對于①，因為a，b，c是三角形的三條邊長，所以a+b＞c，
又因為c＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
所以當x∈（-∞，1）時，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）
=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，故①正確；
對于②，令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構成三角形的三邊長，
但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構成三角形的三邊長，故②正確；
對于③，若△ABC為直角三角形，由題意得c²=a²+b²，
對于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，故③錯誤；
對于④，因為c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC為鈍角三角形，
所以a²+b²-c²＜0，于是f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
故函數f（x）在區間（1，2）內存在零點，即?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0，故④正確；
綜上，正確結論的序號為①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了函數的性質與應用問題，是綜合題．