Question

已知向量

a

=(an，2)，

b

=(an+1，

2

5

)且a₁=1，若數列{a_n}的前n項和為S_n，且

α

=λ

b

（λ∈R，λ≠0），則

lim

n→∞

sn=

5

4

．

Answer 1

分析：由題意

α

=λ

b

成立，可得 an+1=

1

5

an，由此知此數列為一公比為

1

5

的等比數列，數列{a_n}的首項a₁=1，求出其前n項之和為S_n，求其極限即可．

解答：解：由題意

α

=λ

b

成立，可得 an+1=

1

5

an，
由此知此數列為一公比為

1

5

的等比數列，數列{a_n}的首項a₁=1，
∴S_n=

1-( 1 5 )n

1-( 1 5 )

=

5

4

(1-(

1

5

)n)=

5

4

-

5

4

×(

1

5

)n
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[

5

4

-

5

4

×(

1

5

)n]=

5

4

故答案為：

5

4

．

點評：本題考查數列的極限，解題的關鍵是根據向量的內積公式，得出數列的性質首項為1，公比為

1

5

的等比數列，求出其前n項之和為S_n，極限的運算法則也很關鍵．