Question

設數列{a_n}的首項a₁=1且前n項和為S_n．已知向量

a

=(1，an)，

b

=(an+1，

1

2

)滿足

a

⊥

b

，則

lim

n→∞

Sn=

2

3

．

Answer 1

分析：利用向量的垂直關系，可知其數量積為0，進而可得出數列{a_n}是以首項a₁=1，公比為-

1

2

的等比數列，由于公比的絕對值小于1，故易求．

解答：解：由題意，∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

= 0，∴an+1=-

1

2

an
即數列{a_n}是以首項a₁=1，公比為-

1

2

的等比數列，
∴

lim

n→∞

Sn=

1

1+ 1 2

=

2

3

故答案為

2

3

點評：本題的考點是數列的極限，主要考查無窮等比數列的求和問題，關鍵是利用向量的垂直關系得出數列是無窮等比數列，進而再求和．