Question

【題目】點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方體的性質(zhì)及,可判斷點(diǎn)的軌跡為平面與內(nèi)切球的交線,即所得小圓的圓周即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡.結(jié)合球的幾何性質(zhì),即可求得小圓的周長(zhǎng),即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度.

根據(jù)題意,點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為的中點(diǎn),設(shè)中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,如下圖所示:

在平面中,

由題意可知,

為在平面內(nèi)的射影,所以直線在過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)

又因?yàn)?/span>在正方體內(nèi)切球的球面上

所以點(diǎn)的軌跡為正方體的內(nèi)切球與過(guò)且與垂直的平面相交得到的小圓,即的軌跡為過(guò)的平面即為平面與內(nèi)切球的交線

因?yàn)?/span>位于平面內(nèi),

設(shè)到平面的距離為

所以由,可得

代入可得,解得

正方體的內(nèi)切球半徑為

由圓的幾何性質(zhì)可得所截小圓的半徑為

所以小圓的周長(zhǎng)為

即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為

故選:C