【題目】已知定義域為
的函數(shù)
（
，
）
（1）設(shè)
，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)
為
導(dǎo)數(shù)，
（i）證明：當(dāng)
，
時，
；
（ii）設(shè)關(guān)于
的方程
的根為
，求證：
【答案】（1）當(dāng)
為奇數(shù)時
的增區(qū)間為
，減區(qū)間為
；當(dāng)為偶數(shù)時的增區(qū)間為及
，減區(qū)間為
。
（2）（i）證明見解析，（ii）證明見解析。
【解析】
（1）對
，求導(dǎo)可得
，分當(dāng)為大于1的奇數(shù)，和為偶數(shù)時兩種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）設(shè)
，
，求導(dǎo)得
，根據(jù)
研究
即可得到所證結(jié)論；
（ii）
，原方程化為
解得
，因為
，所以
；作差得，
，由（i）知，可得
，所以
，即可得證.
（1），
當(dāng)
，時
即
（a）當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，
是偶數(shù)，
，
，
當(dāng)
時，
，當(dāng)
時
故的增區(qū)間為
，減區(qū)間為
當(dāng)為偶數(shù)時，是奇數(shù)，由于
，所以
當(dāng)或
時，，當(dāng)
時
故的增區(qū)間為及，減區(qū)間為
綜上，當(dāng)為奇數(shù)時的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
當(dāng)為偶數(shù)時的增區(qū)間為及，減區(qū)間為，
（2）（i）證明：設(shè)，，則，
因為
，
，故在
是增函數(shù)，
從而
，由于
，
所以
，
所以
在是增函數(shù)，
，即
（ii），原方程化為
解得，因為，所以；
作差得，，
由（i）知，當(dāng)，時，，
令
，
，故有，所以，
，
綜上，
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為
；_______________；
（Ⅰ）在①的一條對稱軸
；②的一個對稱中心
；③的圖象經(jīng)過點
這三個條件中任選一個補充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若動直線
與和
的圖象分別交于
、
兩點，求線段
長度的最大值及此時
的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖為某大河的一段支流，岸線
近似滿足
∥
寬度為7
圓
為河中的一個半徑為2
的小島，小鎮(zhèn)
位于岸線上，且滿足岸線
現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸
的通道
（圖中粗線部分折線段，
在右側(cè)），為保護小島，
段設(shè)計成與圓相切，設(shè)
（1）試將通道的長
表示成
的函數(shù)，并指出其定義域.
（2）求通道的最短長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】正四棱錐
的底面正方形邊長是3，
是在底面上的射影，
，
是
上的一點，過且與
、
都平行的截面為五邊形
．
（1）在圖中作出截面，并寫出作圖過程；
（2）求該截面面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球
個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是
.
（1）求的值；
（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為
，第二次取出的小球標號為
.
①記“
”為事件
，求事件的概率；
②在區(qū)間
內(nèi)任取2個實數(shù)
，
，求事件“
恒成立”的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，函數(shù)
.
（1）若
，
極大值；
（2）若
無零點，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點
，
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)y=2cos（2x+
）的圖象向左平移
個單位長度，得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在[0，
]上的值域．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】每年春節(jié)，各地的餐館都出現(xiàn)了用餐需預(yù)定的現(xiàn)象，致使一些人在沒有預(yù)定的情況下難以找到用餐的餐館，針對這種現(xiàn)象，專家對人們的用餐地點及性別作出調(diào)查，得到的情況如下表所示：
在家用餐 | 在餐館用餐 | 總計 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 40 | ||
總計 | 50 | 100 |
（1）完成上述
列聯(lián)表；
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試通過計算判斷是否有
的把握說明用餐地點與性別有關(guān)？
參考公式及數(shù)據(jù)：
，其中
.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了改善市民的生活環(huán)境，長沙某大型工業(yè)城市決定對長沙市的1萬家中小型化工企業(yè)進行污染情況摸排，并出臺相應(yīng)的整治措施．通過對這些企業(yè)的排污口水質(zhì)，周邊空氣質(zhì)量等的檢驗，把污染情況綜合折算成標準分100分，發(fā)現(xiàn)長沙市的這些化工企業(yè)污染情況標準分基本服從正態(tài)分布N（50，162），分值越低，說明污染越嚴重；如果分值在［50，60］內(nèi)，可以認為該企業(yè)治污水平基本達標．
（Ⅰ）如圖為長沙市的某工業(yè)區(qū)所有被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的頻率分布直方圖，請計算這個工業(yè)區(qū)被調(diào)査的化工企業(yè)的污染情況標準分的平均值，并判斷該工業(yè)區(qū)的化工企業(yè)的治污平均值水平是否基本達標；
（Ⅱ）大量調(diào)査表明，如果污染企業(yè)繼續(xù)生產(chǎn)，那么標準分低于18分的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為10萬元，標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)每月對周邊造成的直接損失約為4萬元．長沙市決定關(guān)停80％的標準分低于18分的化工企業(yè)和60％的標準分在［18，34）內(nèi)的化工企業(yè)，每月可減少的直接損失約有多少？
（附：若隨機變量
，則
， 
，
）
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