Question

6．已知函數f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{a}{x}$（a＞0），若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 把?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，轉化為?x∈（0，e]，有$a≥\frac{3}{2}x-xlnx$．設h（x）=$\frac{3}{2}x-xlnx$，x∈（0，e]，利用導數求其最大值得答案．

解答 解：f（x）≥g（x）+$\frac{3}{2}$，即lnx≥$-\frac{a}{x}$+$\frac{3}{2}$，
也就是$\frac{a}{x}≥\frac{3}{2}-lnx$，
∵x∈（0，e]，∴$a≥\frac{3}{2}x-xlnx$．
設h（x）=$\frac{3}{2}x-xlnx$，x∈（0，e]，
則h′（x）=$\frac{3}{2}-lnx-1=\frac{1}{2}-lnx$，
令h′（x）=0，得$\frac{1}{2}-lnx=0$，即x=$\sqrt{e}$．
∴當x∈（0，$\sqrt{e}$）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；
當x∈（$\sqrt{e}$，e]時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減．
∴$h（x）_{max}=h（\sqrt{e}）=\frac{3}{2}\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}}{2}=\sqrt{e}$．
∴a$≥\sqrt{e}$．

點評 本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值，考查分離參數法，屬中檔題．