Question

9．已知函數f（x）=e^x，g（x）=lnx-a（x-1）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a≤$\frac{5}{4}$時，求函數h（x）=f（x）+4g（x）在區間[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令F（x）=f（x）-x-1，求導數，確定函數的單調性，即可證明：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求導數，分類討論，即可求函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a≤$\frac{5}{4}$時，h′（x）≥0，可得h（x）在[1，+∞）上遞增，即可求函數h（x）=f（x）+4g（x）在區間[1，+∞）上的最小值．

解答 （Ⅰ）證明：令F（x）=f（x）-x-1，F′（x）=e^x-1=0，∴x=0．
x＞0時，F′（x）＞0，函數單調遞增，x＜0時，F′（x）＜0，函數單調遞減，
∴F（x）≥F（0）=0，
∴f（x）≥x+1；
（Ⅱ）解：g′（x）=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0）．
a≤0時，x＞0，g′（x）＞0，∴函數g（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
a＞0時，x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＞0，∴函數g（x）的單調遞增區間是（0，$\frac{1}{a}$）；
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＜0，∴函數g（x）的單調遞減區間是（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅲ）解：h（x）=e^x+4lnx-4a（x-1），h′（x）=e^x+$\frac{4}{x}$-4a．
由（1）可知，h′（x）≥x+1+$\frac{4}{x}$-4a≥5-4a，
當a≤$\frac{5}{4}$時，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=e．

點評 本題考查不等式的證明，考查根據導數符號求函數單調區間的方法，以及函數極值和最值的概念，屬于中檔題．