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2.已知函數$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{{{(\frac{1}{2})}^x}+4,}&{x<-1}\\{a{x^2}+4x,}&{x≥-1}\end{array}}\right.$(a∈R).
(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)<12;
(Ⅱ)若總存在x0∈[-1,1],使得f(x0)=3-a成立,求實數a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)原不等式可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x<-1}\\{{{(\frac{1}{2})}^x}+4<12}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x<12}\end{array}}\right.$,解出即可得出.
(Ⅱ)總存在x0∈[-1,1],使得f(x0)=3-a成立,即函數g(x)=ax2+4x+a-3在[-1,1]上有零點.(1)當g(-1)g(1)≤0時,g(x)在[-1,1]上總有零點,(2)當g(-1)g(1)>0時,分為以下兩種其中情況$\left\{{\begin{array}{l}{g(-1)>0}\\{g(1)>0}\\{△≥0}\\{-1<-\frac{4}{2a}<1}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{g(-1)<0}\\{g(1)<0}\\{△≥0}\\{-1<-\frac{4}{2a}<1}\end{array}}\right.$,解出即可得出.

解答 解:(Ⅰ)原不等式可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x<-1}\\{{{(\frac{1}{2})}^x}+4<12}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x<12}\end{array}}\right.$,
解得-3<x<-1或-1≤x<2,
所以原不等式的解集是{x|-3<x<2}.
(Ⅱ)總存在x0∈[-1,1],使得f(x0)=3-a成立,即函數g(x)=ax2+4x+a-3在[-1,1]上有零點.
(1)當g(-1)g(1)≤0時,g(x)在[-1,1]上總有零點,
所以(2a-7)(2a+1)≤0,即$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{7}{2}$,
(2)當g(-1)g(1)>0時,分為以下兩種其中情況$\left\{{\begin{array}{l}{g(-1)>0}\\{g(1)>0}\\{△≥0}\\{-1<-\frac{4}{2a}<1}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{g(-1)<0}\\{g(1)<0}\\{△≥0}\\{-1<-\frac{4}{2a}<1}\end{array}}\right.$,
解得$\frac{7}{2}<a≤4$或∅.
綜上,實數a的取值范圍是$[-\frac{1}{2},4]$.

點評 本題考查了二次函數的單調性、不等式的解法,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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