Question

2．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4，}&{x＜-1}\\{a{x^2}+4x，}&{x≥-1}\end{array}}\right.$（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜12；
（Ⅱ）若總存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4＜12}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x＜12}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）總存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，即函數g（x）=ax²+4x+a-3在[-1，1]上有零點．（1）當g（-1）g（1）≤0時，g（x）在[-1，1]上總有零點，（2）當g（-1）g（1）＞0時，分為以下兩種其中情況$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4＜12}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x＜12}\end{array}}\right.$，
解得-3＜x＜-1或-1≤x＜2，
所以原不等式的解集是{x|-3＜x＜2}．
（Ⅱ）總存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，即函數g（x）=ax²+4x+a-3在[-1，1]上有零點．
（1）當g（-1）g（1）≤0時，g（x）在[-1，1]上總有零點，
所以（2a-7）（2a+1）≤0，即$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{7}{2}$，
（2）當g（-1）g（1）＞0時，分為以下兩種其中情況$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{7}{2}＜a≤4$或∅．
綜上，實數a的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，4]$．

點評 本題考查了二次函數的單調性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．