Question

給出下列四個命題：
①動點P到A（-5，0）的距離與它到B（5，0）距離的差等于6，則點P的軌跡是雙曲線；
②“直線與雙曲線只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件；
③直線l交橢圓3x²+4y²=48于A，B兩點，AB的中點為M（2，1），則l的斜率為-

3

2

；
④已知動圓P過定點A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內切，則動圓的圓心P的軌跡是橢圓．
其中正確的命題為

 

（只填正確命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：①，深刻理解雙曲線的定義，中“雙”的含義，可判斷①；
②，利用充分必要條件的概念及雙曲線中與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個公共點的性質可判斷②；
③，利用“點差法”可求得直線l交橢圓3x²+4y²=48于A，B兩點的直線AB的斜率，可判斷③；
④，依題意知，動圓的圓心P滿足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，利用橢圓的定義，可判斷④．

解答： 解：對于①，動點P到A（-5，0）的距離與它到B（5，0）距離的差等于6，則點P的軌跡是雙曲線的右支，不是完整的雙曲線（兩支），故①錯誤；
對于②，直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線可能與雙曲線相交（與漸近線平行），也可能與雙曲線相切，故充分性不成立；
反之，直線與雙曲線相切，則直線與雙曲線只有一個公共點，正確，即必要性成立；
所以“直線與雙曲線只有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件，即②正確；
對于③，直線l交橢圓3x²+4y²=48于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
則3x₁²+4y₁²=48，3x₂²+4y₂²=48，
兩式相減得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的中點為M（2，1），
所以，12（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，即k=

y1-y2

x1-x2

=-

12

8

=-

3

2

，l的斜率為-

3

2

，即③正確；
對于④，已知動圓P過定點A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內切，則動圓的圓心P滿足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，
所以，點P的軌跡是橢圓，即④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查圓錐曲線的定義與標準方程及性質的綜合應用，著重考查雙曲線與橢圓的定義的理解與應用，考查“點差法”求直線的斜率，考查轉化思想．