Question

已知在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是

x=1+t y= 3 t

（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，求直線l的極坐標方程，若直線與曲線相交于A、B，求|AB|．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：首先，根據直線的參數方程，化為普通方程，然后，將普通方程化為極坐標方程，然后，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，然后聯立方程組，并結合弦長公式進行求解．

解答： 解：∵直線l的參數方程是

x=1+t y= 3 t

（t為參數），
∴直線的普通方程為：

3

x-y-

3

=0，
斜率為k=

3

，
∴直線l的極坐標方程

3

ρcosθ-ρsinθ-

3

=0，
根據曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+2ρsinθ-2=0，
得x²-y²+2y-2=0，
聯立方程組

x2-y2+2y-2=0 y= 3 (x-1)

，
整理得2x2-(6+2

3

)x+2

3

+5=0，
∴x₁+x₂=3+

3

，
x₁•x₂=

1

2

(2

3

+5)，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=2

2 3 +2

．

點評：本題重點考查了直線的參數方程和普通方程、極坐標方程、雙曲線的極坐標方程等知識，屬于中檔題．