Question

2．函數f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程是x-2y+1=0，以直線l與y軸的交點為焦點的拋物線標準方程是x²=2y．

Answer 1

分析 根據題意，對函數f（x）=$\sqrt{x}$求導可得其導數，由導數的幾何意義可得函數f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程的斜率k，再求得f（1）的值，即可得切點的坐標，由直線的點斜式方程可得其切線的方程，進而可得直線與y軸交點的坐標，由拋物線的標準方程計算可得答案．

解答 解：根據題意，對于函數f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$，有y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則函數f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程的斜率k=$\frac{1}{2×\sqrt{1}}$=$\frac{1}{2}$，
又由函數f（x）=$\sqrt{x}$，則f（1）=1，即切點的坐標為（1，1），
則有函數f（x）=$\sqrt{x}$在x=1處的切線l方程：y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+1=0；
對于直線x-2y+1=0，其與y軸的交點為（0，$\frac{1}{2}$），
以（0，$\frac{1}{2}$）為焦點的拋物線中必有p=2×$\frac{1}{2}$=1，焦點在y軸上，
則其標準方程為：x²=2y；
故答案為：x-2y+1=0，x²=2y．

點評 本題考查拋物線的幾何性質，涉及函數的切線的求法，關鍵是求出函數的切線的方程．