Question

在平面直角坐標系中，已知定點F（1，0），點在軸上運動，點在軸上，點

為平面內的動點，且滿足，．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設點是直線：上任意一點，過點作軌跡的兩條切線，，切點分別為，，設切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

 

Answer 1

（1），（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求動點軌跡方程，分四步。第一步，設所求動點坐標，設點，，．第二步，建立等量關系，由可知，點是的中點，所以即所以點，．所以，．由，可得，第三步，化簡等量關系，即．第四步，去雜或確定取值范圍，本題就是（2）證明三直線斜率關系，實質研究其坐標關系. 設點，則過點的直線，聯立方程，整理得．則，化簡得．所以．又，故．

【解】（1）設點，，．

由可知，點是的中點，

所以即所以點，．

所以，． 3分

由，可得，即．

所以動點的軌跡的方程為． 5分

（2）設點，

由于過點的直線與軌跡：相切，

聯立方程，整理得． 7分

則，

化簡得．

顯然，，是關于的方程的兩個根，所以．

又，故．

所以命題得證． 10分

考點：軌跡問題的求解方法、直線和拋物線方程的位置關系