Question

已知點P（m，n）是位于第一象限，是在直線x+y-1=0上，則使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的實數a的取值范圍是 ______

Answer 1

∵點P（m，n）是位于第一象限∴m＞0，n＞0
∴m+n-1=0即m+n=1
∵使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的實數a要滿足a小于等于

1

m

+

4

n

的最小值即可
∵

1

m

+

4

n

= (

1

m

+

4

n

)(m+n)=1+4+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m × 4m n

=9
當且僅當n=2m，即n=

1

2

，m=

1

4

時等號成立
∴a≤9
故答案為：（-∞，9]．