Question

已知點P（m，n）是位于第一象限，是在直線x+y-1=0上，則使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的實數a的取值范圍是

 

Answer 1

分析：先根據點P的位置確定m，n的符號，再代入到直線x+y-1=0中得到m+n是定值，再求出

1

m

+

4

n

的最小值，最后令a小于等于該最小值即可．

解答：解：∵點P（m，n）是位于第一象限∴m＞0，n＞0
∴m+n-1=0即m+n=1
∵使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的實數a要滿足a小于等于

1

m

+

4

n

的最小值即可
∵

1

m

+

4

n

= (

1

m

+

4

n

)(m+n)=1+4+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m × 4m n

=9
當且僅當n=2m，即n=

1

2

，m=

1

4

時等號成立
∴a≤9
故答案為：（-∞，9]．

點評：本題主要考查基本不等式的應用．基本不等式是高考的重點也是高考的熱點問題，一定要做到靈活運用．