Question

1．若雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x²+（y-2）²=1相切，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得漸近線方程，則x²+（y-2）²=1的圓心為（0，2），半徑為1，因此圓心為（0，2）到漸近線方程為ax±by=0的距離為1，由點到直線的距離公式即可求得2b=c，a=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，根據(jù)離心率公式e=$\frac{c}{a}$，即可求得雙曲線C的離心率．

解答 解：由雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點在x軸上，漸近線方程為ax±by=0，
x²+（y-2）²=1的圓心為（0，2），半徑為1，
由題意可知：圓心為（0，2）到漸近線方程為ax±by=0的距離為1，
即$\frac{丨±2b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，整理得：2b=c，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程，點到直線的距離公式，考查轉化思想，屬于中檔題．