Question

6．數列{a_n}前n項和為S_n，且a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*）．
（1）證明數列{a_n+2}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$，證明：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a_n+S_n=-2n-1，則a_n+1+S_n+1=-2n-3，兩式相減，a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=-2，整理得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，a_n+1+2=$\frac{1}{2}$（a_n+2），$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{2}$，因此數列{a_n+2}是首項為a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比為q=$\frac{1}{2}$的等比數列；
（2）由（1）可知，由等比數列通項公式可知：a_n+2=（a₁+2）q^n-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2；
（3）由（2）得${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$=log₂2ⁿ=n，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項法”即可求得$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，則$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．

解答 解：（1）證明：由a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*），
∴a_n+1+S_n+1=-2n-3，
兩式相減，a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=-2，即a_n+1-2a_n=-2，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，…（2分）
∴a_n+1+2=$\frac{1}{2}$（a_n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{2}$，
當n=1時，a₁+S₁=-2-1=-3，
∴a₁=-$\frac{3}{2}$，
∴數列{a_n+2}是首項為a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比為q=$\frac{1}{2}$的等比數列，…（4分）
（2）由（1）可知，根據等比數列的通項公式可知：a_n+2=（a₁+2）q^n-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2；…（6分）
（3）證明：由（2）得${b_n}={log_2}\frac{1}{{{a_n}+2}}$=log₂2ⁿ=n，…（7分）
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$…（8分）
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
即$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{b_k}{b_{k+1}}}}}＜1$．…（10分）

點評 本題考查等比數列的證明，考查等比數列通項公式，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．