Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）寫出函數f（x）的單調遞減區間；
（2）設$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$，求函數g（x）的最大值及對稱軸．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標結合數量積的坐標運算可得f（x），再由輔助角公式化積，結合復合函數的單調性求得f（x）的單調遞減區間；
（2）由$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$得到g（x）的解析式，直接求得函數的最大值及對稱軸方程．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a=（sinx，1），\overrightarrow b=（\sqrt{3}，cosx）$，
得f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}sinx+cosx$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函數f（x）的單調遞減區間為[$\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4π}{3}+2kπ$]，k∈Z；
（2）$g（x）=f（x-\frac{π}{6}）+1$=2sinx+1．
∴g（x）_max=3．
其對稱軸方程為x=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．