Question

已知集合A={x|x²+ax+b=x}={a}，冪函數f（x）經過點（a，b），
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求不等式f（x）≤x的解集．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,函數的零點

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由已知可知a為方程x²+（a-1）x+b=0的兩相等實數根，把a代入方程，結合一元二次方程的判別式等于0求得a，b的值，則集合A可求；
（Ⅱ）由冪函數圖象過點（a，b）求得冪函數解析式，然后求解一元二次不等式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由A={x|x²+ax+b=x}={a}，
可知a為方程x²+（a-1）x+b=0的兩相等實數根，
則a²+a（a-1）+b=0，
且（a-1）²-4b=0，聯立解得：a=

1

3

，b=

1

9

．
∴A={

1

3

}；
（Ⅱ）設冪函數f（x）=x^α，
∵冪函數f（x）經過點（

1

3

，

1

9

），
∴

1

9

=(

1

3

)α，解得：α=2．
∴f（x）=x²．
由不等式f（x）≤x，得x²≤x，解得：0≤x≤1．
∴不等式f（x）≤x的解集為[0，1]．

點評：本題考查了一元二次方程的解法，考查了冪函數和二次函數的性質，是基礎題．