Question

【題目】已知圓，直線過定點A(1，0)．

（Ⅰ）若與圓相切，求的方程；

（Ⅱ）若與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又與的交點為N，求證: 為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析．

【解析】

（Ⅰ）由直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，注意討論斜率存在不存在，即可求得直線方程；（Ⅱ）由直線與圓相交，斜率必定存在，分別聯立相應方程，求得點與點的坐標，即可求得的值.

（Ⅰ）若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．

若直線斜率存在，設直線為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，即：解得．

∴所求直線方程是，．

（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為.

由得．

∵直線與垂直

∴聯立，得．

∴為定值．