Question

19．已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），
（1）若函數f（x）在區間[-1，1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（2）記M（a，b）是|f（x）|在區間[-1，1]上的最大值，證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2．

Answer 1

分析 （1）若函數f（x）在區間[-1，1]上不單調，則函數圖象的對稱軸x=$-\frac{a}{2}$∈[-1，1]，解得答案；
（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤-2，則M（a，b）=|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=$\left\{\begin{array}{l}|1+a+b|．a+ab≥0\\|1-a+b|．a+ab＜0\end{array}\right.$，進而可證得M（a，b）≥2．

解答 解：（1）由題意知：
函數f（x）的對稱軸為x=$-\frac{a}{2}$----------------------（2分）
∵函數f（x）在區間[-1，1]上不單調，
∴$-\frac{a}{2}$∈[-1，1]----------------------------------------------（6分）
∴a∈[-2，2]--------------------------------------------（8分）
證明：（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤-2，-------------------（9分）
而函數f（x）的對稱軸為直線x=$-\frac{a}{2}$，
M（a，b）=|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=$\left\{\begin{array}{l}|1+a+b|．a+ab≥0\\|1-a+b|．a+ab＜0\end{array}\right.$---------------------------（13分）
則4≤2|a|≤|1+a+b|+|1-a+b|≤2M（a，b）---------------（14分）
即M（a，b）≥2----------------------------------------------（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．