Question

3．（x+$\frac{1}{x}$+1）⁴展開式中常數項為（　　）

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 （x+$\frac{1}{x}$+1）⁴展開式的T_r+1=${∁}_{4}^{r}$$（x+\frac{1}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，4）．$（x+\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（\frac{1}{x}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，令r=2k，進而得出．

解答 解：（x+$\frac{1}{x}$+1）⁴展開式的T_r+1=${∁}_{4}^{r}$$（x+\frac{1}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，4）．
$（x+\frac{1}{x}）^{r}$的通項公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（\frac{1}{x}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，
令r=2k，可得：k=0時，r=0；k=1時，r=2，k=2時，r=4．
∴（x+$\frac{1}{x}$+1）⁴展開式中常數項=1+${∁}_{4}^{2}×{∁}_{2}^{1}$+${∁}_{4}^{4}×{∁}_{4}^{2}$=19．
故選：B．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．