Question

對于數列{x_n}，若對任意n∈N^*，都有

xn+xn+2

2

＜x_n+1成立，則稱數列{x_n}為“減差數列”．設數列{a_n}是各項都為正數的等比數列，其前n項和為S_n，且a₁=1，S₃=

7

4

．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并判斷數列{S_n}是否為“減差數列”；
（2）設b_n=（2-na_n）t+a_n，若數列b₃，b₄，b₅，…是“減差數列”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設數列{a_n}的公比為q，則1+q+q²=

7

4

，由此能求出數列{a_n}的通項公式，并判斷數列{S_n}為“減差數列”．
（2）由題設知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．由此能求出t的取值范圍是（1，+∞）．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，則1+q+q²=

7

4

，
因為q＞0，所以q=

1

2

，
所以a_n=

1

2n-1

，
S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
所以

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=S_n+1，
所以數列{S_n}是“減差數列”．
（2）由題設知，b_n=2-

n

2n-1

t+

1

2n-1

=2t-

tn-1

2n-1

．
由

bn+bn+2

2

＜b_n+1，得t-

tn-1

2n

+t-

t(n+2)-1

2n+2

＜2t-

t(n+1)-1

2n

，
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞

t(n+1)-1

2n

，化簡得t（n-2）＞1．
又當n≥3時，t（n-2）＞1恒成立，即t＞

1

n-2

恒成立，
所以t＞（

1

n-2

）_max=1．
故t的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查{a_n}的通項公式的求示，考查數列{S_n}是否為“減差數列”的判斷，考查實數t的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．