Question

8．中心在原點的橢圓長軸右頂點為（2，0），直線y=x-1與橢圓相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標為$\frac{2}{3}$，則此橢圓標準方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 先設出橢圓的方程，然后與直線方程聯立方程組，經消元得二元一次方程，再根據韋達定理及MN的中點的橫坐標為$\frac{2}{3}$，即得橢橢圓標準方程．

解答 解　設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），依題意a=2，
∴橢圓方程可以化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把直線y=x-1代入得（4+b²）x²-8x+4-4b²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8}{4+{b}^{2}}$，
∵MN的中點的橫坐標為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{8}{4+{b}^{2}}=\frac{2}{3}$，解得b²=2．
∴橢圓的標準方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓的簡單性質，是中檔題．