Question

已知函數f（x）=

kx+ka，x≥0 1 3 x3- 1 2 (a+1)x2+ax-a2-1，x＜0.

其中a∈R，若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則k的最大值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-3
• D、-4

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：求函數的導數f′（x）=（x-a）（x-1），結合分段函數的表達式從而確定函數的單調性，利用基本不等式進行求解即可．

解答： 解：由分段函數可得f（0）=ka，
當x＜0時，f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若對任意的非零的實數x₁，存在唯一的非零的實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
則知函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，
當x≥0時，f（x）=k（x+a），此時對應直線和x軸的交點為（-a，0），
若a＜0，則不滿足函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，
當a=0時，f（x）=

kx， x≥0 1 3 x3-1， x＜0

，此時不滿足條件，
故a＞0，
而由-a²-1=ka知，
k=

-a2-1

a

=-（a+

1

a

）≤-2

a• 1 a

=-2，
（當且僅當a=

1

a

，即a=1時，等號成立）；
故k的最大值為-2，
故選：B

點評：本題主要考查分段函數的應用，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一點的難度．