Question

某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件該產品需另投入成本為G（x），當年產量不足80千件時，G（x）=

1

3

x²+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時，G（x）=51x+

10000

x

-1450（萬元）．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完，則該廠在這一商品的生產中所獲年利潤的最大值是（　　）

• A、1150萬元
• B、1000萬元
• C、950萬元
• D、900萬元

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案．

解答： 解：∵每件商品售價為0.05萬元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-

1

3

x²-10x-250=-

1

3

x²+40x-250；
②當x≥80時，L（x）=（0.05×1000x）-51x-

10000

x

+1450-250=1200-（x+

10000

x

）．
當0＜x＜80時，L（x）=-

1

3

x²+40x-250=-

1

3

（x-60）²+950，
∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當x≥80時，L（x）=1200-（ x+

10000

x

）≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
當且僅當x=

10000

x

，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．
故選：B

點評：本題主要考查函數的應用問題，考查根據實際問題選擇合適的函數類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．利用一元二次函數和基本不等式求函數的最值是解決本題的關鍵．