Question

5．已知函數f（x）=log_a（${\sqrt{{x^2}+1}$+x）（其中a＞1）．
（1）判斷函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$（其中m，n∈R，且m+n≠0）的正負，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）函數y=f（x）是奇函數，理由如下：結合對數的運算性質和函數奇偶性的定義，可證明；
（2）$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$，結合函數的單調性和奇偶性，可進行判斷．

解答 解：（1）函數y=f（x）是奇函數，理由如下：
因為$\sqrt{{x^2}+1}+x＞|x|+x≥0$，所以函數y=f（x）的定義域為R．…（2分）
又因為$f（x）+f（{-x}）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）+{log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）={log_a}（{{x^2}+1-{x^2}}）=0$，
所以函數y=f（x）是奇函數．…（5分）
（2）$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$，理由如下：
任取0≤x₁＜x₂，設${u_1}=\sqrt{x_1^2+1}+{x_1}，{u_2}=\sqrt{x_2^2+1}+{x_2}$，
則${u_1}-{u_2}=\frac{x_1^2-x_2^2}{{\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}}+（{{x_1}-{x_2}}）＜0$，故0＜u₁＜u₂，從而$0＜\frac{u_1}{u_2}＜1$．…（7分）
因為a＞1，所以$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_a}\frac{u_1}{u_2}＜0$，
故$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$在[0，+∞）上單調遞增．…（9分）
又因為$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$為奇函數，
所以f（-n）=-f（n），且$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$在（-∞，+∞）上單調遞增．…（10分）
所以m+n=m-（-n）與f（m）+f（n）=f（m）-f（-n）同號，即$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，抽象函數的應用，難度中檔．