Question

已知定義在實數集上的函數y=f（x）滿足條件：對于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（0）=0；
（2）若f（x）是奇函數，試舉出兩個這樣的函數；
（3）若當x≥0時，f（x）＜0，
1）試判斷函數f（x）在R上的單調性，并證明之；
2）判斷函數|f（x）|=a．所有可能的解的個數，并求出對應的a的范圍；

Answer 1

分析：（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）此恒等式對應的函數可以舉出兩個沒有常數項的一次函數．
（3）可由定義法證明，其步驟是先取值，再作差，由于函數是一抽象函數，判斷差的符號時要注意題設中條件x≥0時，f（x）＜0的使用，由此先取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由作差證明即可．

解答：解：（1）令x=y=0．則f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x）
即f（-x）=-f（x）
故f（x）為奇函數；
例如：y=-2x，y=3x；
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＜0
又有題設知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
則該函數f（x₂）＜f（x₁）
所以該函數f（x）為（-∞，+∞）單調減函數
2）由f（x+y）=f（x）+f（y）以及①的結論，③的題設當x≥0時，f（x）＜0知
x＜0時，（x）＜0
又由1）知函數f（x）為（-∞，+∞）單調減函數故知f（x）在（-∞，0]上減，在[0，+∞）上增且f（0）=0
故有：
當a＞0時，有兩解；
當a=0時，有一解；
當a＜0時，無解；

點評：本題考點是抽象函數及其運用，考查靈活賦值求函數值以及運用恒等式靈活變形證明函數的單調性，利用復合函數的單調性判斷方程的根的個數，本題涉及到的考點較多，知識性與技巧性都很強，是知識完善結合的一個好題．