Question

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2acosC+ccosA=b，則sinA+sinB的最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理得到cosC=0，確定出C為直角，進而利用誘導公式得到sinB=cosA，原式變形后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用正弦函數的值域即可確定出最大值．

解答： 解：把2acosC+ccosA=b，利用正弦定理化簡得：2sinAcosC+sinCcosA=sinB，
整理得：2sinAcosC+sinCcosA=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinAcosC=0，
∵sinA≠0，∴cosC=0，
∴C=90°，
∴sinB=cosA，
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
∵sin（A+45°）≤1，∴sinA+sinB≤

2

，
則sinA+sinB的最大值為

2

．
故答案為：

2

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．